Metodos Numericos: MÉTODOS NUMÉRICOS

INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Muchos de los fenómenos de la vida real son modelados matemáticamente con el fin de poder explicarse, sin embargo en la mayoría de los casos éstos no pueden ser solucionados por medio de algún método exacto y aunque algunas veces se puede lograr su solución ésta puede resultar demasiado laboriosa en términos de tiempo y recursos computacionales. Los métodos numéricos (MN) solucionan este tipo de problema mediante la búsqueda de una solución numérica aproximada y el cálculo del error asociado, el cual se espera que sea lo suficientemente pequeño.

DEFINICIÓN:
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas, Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.

Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables de los cálculos numéricos a gran escala.

VALORES O CIFRAS SIGNIFICATIVAS Permiten determinar la confianza de un valor numérico, su importancia en los MN radica primero en que dado que éstos son técnicas iterativas, se puede establecer como criterio de parada el hecho de que una solución alcance determinado número de cifras significativas; y segundo, se utilizan para decidir la precisión de un método numérico. Por ejemplo, el número 2.820 x 103 posee cuatro dígitos significativos.

El término de exactitud, mide cuán cerca se encuentra el valor calculado con respecto a su valor verdadero y el de precisión se refiere a la cercanía de una aproximación a un valor con respecto a las aproximaciones anteriores.

Un valor obtenido mediante el uso de los MN al ser una aproximación difiere de su solución real en una cantidad que generalmente se denomina error. Éste término es de vital importancia ya que la estimación obtenida es evaluada dependiendo de qué tan pequeño sea este. El error asociado mide el grado de exactitud e incertidumbre de éstos.

Los errores son clasificados en dos grandes categorías en la mayoría de la literatura y son causados generalmente por el uso de computadores para realizar los cálculos numéricos. Estos se denominan error de truncamiento y error de redondeo. A continuación se explican cada uno de ellos.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.
Error.
En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el obtenido por aproximación se define como:
Error = Valor real -valor estimado
En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado.
Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, podemos normalizar su valor :
Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero
Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este.

Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como:

Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas en que es confiable el valor aproximado obtenido.
Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de:
Es=(0.5x 102-2)%=0.5%

Errores de truncamiento: se originan debido a que se procede a calcular una solución mediante una aproximación y por el empleo de un número finito de términos de la serie para realizar un cálculo que requiere un número infinito. En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos.

Por ejemplo dados los números reales:

3,14159265358979...

32,438191288

6,3444444444444

Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal.
El resultado es:

3,1415

32,4381

6,3444

Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.

Errores de redondeo: Se originan debido a que los cálculos numéricos no pueden realizarse con una precisión infinita y al empleo de un número finito de términos para realizar un cálculo que requiere un número finito de ellos. Las técnicas utilizadas son las que siguen:

1. Redondeo: se eliminan cierto número de cifras significativas realizando un ajuste sobre la última cifra no descartada.
2. Corte o poda: igual que con el redondeo se prescinde de cierto número de cifras no significativas sin realizar un ajuste en la última no descartada.

Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre e17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo Por ejemplo, el valor de "e" se conoce como 2.718281828... hasta el infinito.
Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo u error de E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008... Sin embargo, como no consideramos que el número que seguía al corte era mayor que 5, entonces nos convenía dejar el número como 2.71828183,
caso en el cual el error sería solo de E = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002.

MÉTODO CONSTRUCTIVO

Otro término importante es el de algoritmo numérico, también llamado método
constructivo. Como se dijo anteriormente, los MN permiten encontrar soluciones mediante el
uso de éstos. Un algoritmo es un procedimiento que describe un número finito de pasos
que pueden ejecutarse de manera lógica. El objetivo de un algoritmo es ser la base para
implementar un procedimiento que resuelve un problema o que aproxima una solución al
problema (Burden, 2001).
Convergencia: La convergencia es la propiedad que tienen algunas sucesiones de tender a
un límite. En métodos iterativos como los numéricos, se construye una sucesión Sn de
aproximaciones a la solución del problema. Sn se dice convergente si converge a la solución
buscada.

AHORA ESTUDIAREMOS LOS MÉTODOS NUMERICOS DE APROXIMACIÓN PARA
RAÍCES DE ECUACIONES NO LINEALES.

MÉTODO DE BISECCION

Este es uno de los métodos más sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se basa en el Teorema de los Valores Intermedios (TVI), el cual establece que toda función continua

en un intervalo cerrado

toma todos los valores que se hallan entre

. Esto es, que todo valor entre

es la imagen de al menos un valor en el intervalo

. En caso de que

tengan signos opuestos ( $f(a)\cdot f(b)<0$ ), el valor cero sería un valor intermedio entre

, por lo que con certeza existe un

que cumple

. De esta forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación

Para complementar Estudiaremos 3 Ejemplos donde se aplica el Método de Bisección.

Ejemplo 1: Encuentre una solucion positiva de las raices de la funcion, utilizando el metodo de Biseccion y
con un error de 10 elevado a la -5.

Ejemplo 2: Encuentre una solucion positiva de las raices de la funcion, utilizando el metodo de Biseccion y
con un error de 10 elevado a la -4.

Ejemplo 3: Encuentre una solucion positiva de las raices de la funcion, utilizando el metodo de Biseccion y
con un error de 10 elevado a la -5.

MÉTODO DE PUNTO FIJO

El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma

f (x)

, siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

Algoritmo para Iteración de Punto Fijo.

1. Se ubica la ráiz de

f (x)

analizando la gráfica.
2. Se obtiene un despeje

x = g (x)

de la función.
3. Obtenemos de

x = g (x)

su derivada $g\prime(x)$ .
4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤ $g\prime(x)$ ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.

Los dos puntos fijos, marcados en rojo, de la función

f (x) = x 2 - 4

Ahora Aplicaremos Algunos ejemplos sobre el metodo de Punto Fijo.

Ejemplo1: Solucionar la siguiente ecuación por medio del Punto Fijo con un error de 10 elevado a la -4

con 5 cifras significativas.

Ejemplo 2:

Ejemplo1: Solucionar la siguiente ecuación por medio del Punto Fijo con un error de 10 elevado a la -5 con 5 cifras significativas.

Ejemplo 3: Ejemplo1: Solucionar la siguiente ecuación por medio del Punto Fijo con un error de 10 elevado a la -5 con 5 cifras significativas.

MÉTODO DE LA SECANTE

En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior.

El método se define por la relación de recurrencia:

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})} f(x_n).$

Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.

Derivación del método

El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x_n−1, f(x_n−1)) y (x_n, f(x_n)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. En la imagen de arriba a la derecha se toman los puntos iniciales x₀ y x₁, se construye una línea por los puntos (x₀, f(x₀)) y (x₁, f(x₁)). En forma punto-pendiente, esta línea tiene la ecuación mostrada anteriormente. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, x_n+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula, y un nuevo valor. Seguimos este proceso, hasta llegar a un nivel suficientemente alto de precisión (una diferencia lo suficientemente pequeñas entre x_n y x_n-1).

Ejemplo 1: Utilizando el Metodo de la Secante encontrar la solucion y obtener un error de 10 a la -5
digitos decimales de la siguiente funcion.

Ejemplo 2: Utilizando el Metodo de la Secante encontrar la solucion y obtener un error de 10 a la -5
digitos decimales de la siguiente función.

Ejemplo 2: Utilizando el Metodo de la Secante encontrar la solucion y obtener un error de 10 a la -3
digitos decimales de la siguiente función.

MÉTODO DE NEWTON

En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

Descripción del Método

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.
Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x₀ y definimos para cada número natural n

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$

Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se demuestra en azul y la línea de la tangente está en rojo). Vemos que

x n + 1

es una aproximación mejor que

x n

para la raíz

x

de la función

f

.

Ejemplo 1: Utilizando el Metodo de Newton halle la raiz de la siguiente función.

Ejemplo 2: Utilizando el Metodo de Newton halle la raiz de la siguiente función.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

En cálculo numérico, el método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

EL MÉTODO

Se busca una solución de la ecuación f(x) = 0, una raíz de f. Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a₀,b₀] con f(a₀) y f(b₀) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz (véase el teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [a_k, b_k] que sigue incluyendo una raíz de la función f.
A partir de un intervalo [a_k, b_k] se calcula un punto interior c_k:

$c_k = \frac{f(b_k)a_k-f(a_k)b_k}{f(b_k)-f(a_k)}$

Dicho punto es la intersección de la recta que pasa por (a,f(a_k)) y (b,f(b_k)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante).
Se evalúa entonces f(c_k). Si es suficientemente pequeño, c_k es la raíz buscada. Si no, el próximo intervalo [a_k+1, b_k+1] será:

[a_k, c_k] si f(a_k) y f(c_k) tienen signos opuestos;
[c_k, b_k] en caso contrario.

ANÁLISIS DEL MÉTODO

Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones el método de la falsa posición tiene orden de convergencia lineal, por lo que suele converger más lentamente a la solución de la ecuación que el método de la secante, aunque a diferencia de en el método de la secante el método de la falsa posición siempre converge a una solución de la ecuación.
El algoritmo tiene el inconveniente de que si la función es convexa o cóncava cerca de la solución, el extremo del intervalo más alejado de la solución queda fijo variando únicamente el más cercano, convergiendo muy lentamente.
Un ejemplo de este fenómeno se da en la función:

$f(x) = 2x^3-4x^2+3x\,$

comenzando con [−1,1]. El extremo izquierdo del intervalo, −1, nunca cambia; el extremo derecho se aproxima a 0 linealmente.
La situación en que el método falla es fácil de detectar (el mismo extremo del intervalo se elige dos veces seguidas) y fácil de corregir eligiendo un c_k diferente, como:

$c_k = \frac{\frac{1}{2}f(b_k) a_k- f(a_k) b_k}{\frac{1}{2}f(b_k)-f(a_k)}$

$c_k = \frac{f(b_k) a_k- \frac{1}{2}f(a_k) b_k}{f(b_k)-\frac{1}{2}f(a_k)}$

restándole peso a uno de los extremos del intervalo para obligar a que el próximo c_k ocurra de ese lado de la función.

Las primeras dos iteraciones de regula falsi. La curva roja muestra la función f; las líneas azules, las secantes.

Ahora aplicaremos algunos ejemplos del Método de la Regla Falsa.

Ejemplo 1: Utilizando el Método de la regla falsa halle la raiz de la siguiente función.

Ejemplo 2: Utilizando el Método de la regla falsa halle la raiz de la siguiente función.

MÉTODO DE POLINOMIO DE TAYLOR

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en 1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si $\ n$ ≥ 0 es un entero y $\ f$ una función que es derivable $\ n$ veces en el intervalo cerrado [ $\ a$ , $\ x$ ] y $\ n$ +1 veces en el intervalo abierto ( $\ a$ , $\ x$ ), entonces se cumple que:^[1]

(1a) $f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(f)$

O en forma compacta

(1b) $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + R_n(f)$

Donde $\ k!$ denota el factorial de $\ k$ , y $R_n(f)\,$ es el resto, término que depende de $\ x$ y es pequeño si $\ x$ está próximo al punto $\ a$ . Existen dos expresiones para $\ R$ que se mencionan a continuación:

(2a) $R_n(f) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}$

donde $\ a$ y $\ x$ , pertenecen a los números reales, $\ n$ a los enteros y $\ \xi$ es un número real entre $\ a$ y $\ x$ :^[2]

(2b) $R_n(f) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt$

Si $R_n(f)\,$ es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.
Para algunas funciones $\ f(x)$ , se puede probar que el resto, $\ R_n(f)$ , se aproxima a cero cuando $\ n$ se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto $\ a$ y son denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con $\ R_n(f)$ expresado de la segunda forma es también válido si la función $\ f$ tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

La función exponencial

y = e x

(línea roja continua) y su aproximación mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de (línea verde discontinua).

MÉTODO DE LAGRANGE

En análisis numérico, el polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.
Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

En esta imagen se muestran, para cuatro puntos ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), la interpolation polinómica (cúbica) L(x), que es la suma de la bases polinómicas escaladas y₀l₀(x), y₁l₁(x), y₂l₂(x) y y₃l₃(x). La interpolación polinómica pasa exactamente por los cuatro puntos (llamados puntos de control) y cada base polinómica escalada pasa por su respectivo punto de control y se anula cuando x corresponde a los otros puntos de control.

Definición

Dado un conjunto de k + 1 puntos

$(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)$

donde todos los x_j se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

$L(x) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x)$

de bases polinómicas de Lagrange

$\ell_j(x) = \prod_{i=0,\, i\neq j}^{k} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{x-x_0}{x_j-x_0}\cdots \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}\cdots \frac{x-x_{k}}{x_j-x_{k}}$

Demostración

La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k con El problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros. Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador.

Concepto

La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para nuestro polinomio interpolador, llegamos a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, llegamos a la forma más simple de matriz identidad = δ_i,j, que puede resolverse inmediatamente.

Ejemplo

La función tangente y su interpolador.

Se desea interpolar

f (x) = tan(x)

en los puntos

$x 0 = - 1.5$	$f (x 0) = - 14.1014$
$x 1 = - 0.75$	$f (x 1) = - 0.931596$
$x 2 = 0$	$f (x 2) = 0$
$x 3 = 0.75$	$f (x 3) = 0.931596$
$x 4 = 1.5$	$f (x 4) = 14.1014$

Con cinco puntos, el polinomio interpolador tendrá, como máximo, grado cuatro (es decir, la máxima potencia será cuatro), al igual que cada componente de la base polinómica. La base polinómica es:

$\ell_0(x)={x - x_1 \over x_0 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_0 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_0 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_0 - x_4} ={1\over 243} x (2x-3)(4x-3)(4x+3)$

$\ell_1(x)={x - x_0 \over x_1 - x_0}\cdot{x - x_2 \over x_1 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_1 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_1 - x_4} =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x-3)$

$\ell_2(x)={x - x_0 \over x_2 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_2 - x_1}\cdot{x - x_3 \over x_2 - x_3}\cdot{x - x_4 \over x_2 - x_4} ={1\over 243} (243-540x^2+192x^4)$

$\ell_3(x)={x - x_0 \over x_3 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_3 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_3 - x_2}\cdot{x - x_4 \over x_3 - x_4} =-{8\over 243} x (2x-3)(2x+3)(4x+3)$

$\ell_4(x)={x - x_0 \over x_4 - x_0}\cdot{x - x_1 \over x_4 - x_1}\cdot{x - x_2 \over x_4 - x_2}\cdot{x - x_3 \over x_4 - x_3} ={1\over 243} x (2x+3)(4x-3)(4x+3)$

Así, el polinomio interpolador se obtiene simplemente como la combinación lineal entre los $\ell_i(x)$ y los valores de las abscisas:

${1\over 243}\Big(f(x_0)x (2x-3)(4x-3)(4x+3)-8f(x_1)x (2x-3)(2x+3)(4x-3)$

$+f(x_2)(243-540x^2+192x^4)-8f(x_3)x (2x-3)(2x+3)(4x+3) \,$

$+f(x_4)x (2x+3)(4x-3)(4x+3)\Big)\,$

$=-1.47748x+4.83456x^3.\,$

Actividad: Una compañía vende CDs regrabables. En una investigación para modelar una ecuación de sus ventas, obtuvieron los siguientes datos de confianza, en donde x reperesenta las ventas en cientos y C(x) la función costos totales en cientos de pesos.

x	0	4	9
C(x)	-100	-76	21.5

1. APLICACIÓN: Un virus informático de procedencia desconocida destruye un archivo A en función de un tiempo de acuerdo a la siguiente tabla:

t	0	0.5	1.0	1.5	2
A	0.33	0.4343	0.5716	0.7522	0.99

Si el tiempo t está dado en días y el archivo A está dado en términos de probabilidad de destrucción, halle una polinomio de grado máximo utilizando interpolación de Lagrange.

2.APLICACIÓN: Se quiere diseñar una porción de la montaña rusa de un parque de atracciones usando tres polinomios. La primera sección debe ser un polinomio P₁(x) de grado 1 que cubra una distancia horizontal de 30 metros, empezando a una altura de de 32 metros y terminando a auna altura de 20 metros. La tercera sección debe ser también un polinomio Q₁(x) de grado 1 que cubra una distancia horizontal de 18 metros y terminando a una altura de 24 metros. La segunda sección debe ser un polinomio P(x) (del menor grado posible) que cubra una distancia horizontal de 50 metros.

APROXIMACIÓN POLINOMIAL

(Para simular construcciones y proyectos de ingeniería se deben tener en cuenta las funciones que modelan los procesos. Los ingenieros de sistemas para hacer estas simulaciones deben tener todo este conocimiento)

1. Para nivelar una carretera de gran longitud L, se debe establecer un margen debido a la curvatura de la Tierra.

a. Utilice la serie del Polinomio de Taylor centrado en cero (Polinomio de Maclaurin) para demostrar que los tres primeros términos no nulos son:

f(x)=sec(x)= 1+1/2 x^2 + 5/24 x^4 +...

b. Para valores pequeños de x, utilice la aproximación f(x)= sec(x)= 1+1/2 x^2

y la figura para demostrar que la corrección por la nivelación de y=L^2/2R

, en donde R es el radio de la Tierra.

c. Calcule el valor necesario en pulgadas de la corrección por nivelación en el caso de una longitud de carretera de 1 milla. Use R=4000 millas.